.RU

Для нахождения локального минимума - Интервальные методы и модели принятия решений в экономике


Для нахождения локального минимума скалярной интервальной функции , с дважды дифференцируемыми в компактной области определения функциями центров и радиусов введем первую и вторую производные функции по правилам

, (16)

. (17)

Определения (16), (17) обоснованы в диссертации параметрическим и инфинитезимальным анализом и обобщают известные подходы А.П. Вощинина, В.И. Левина к определению экстремума интервальных функций.

Опираясь на понятие универсального решения, на основе интервального уравнения сформулируем детерминированную задачу

(18)

с неизвестными x, s и ε. Компонента x* решения задачи (18) названа универсальной стационарной точкой интервальной функции , а также точкой относительного ρ-минимума, если в дополнение к (18) справедливо неравенство

.

Аналогичные рассуждения применительно к задаче на безусловный экстремум интервальной функции векторного аргумента приводят к определению градиента функции в виде векторного интервала

.

Универсальное решение интервальной векторной системы сводится в работе к задаче нелинейного программирования

. (19)

Компонента x* решения задачи (19) названа в работе универсальной стационарной точкой интервальной функции .

Определив интервальный гессиан по правилу

,

для проверки его положительной определенности используем известные результаты Н.А. Бобылева, С.В. Емельянова, С.К. Коровина, Р.С. Ивлева либо введенное в работе определение относительного -оптимума на основе критерия Сильвестра. Для этого по правилам классической интервальной арифметики вычисляем интервальные значения , , главных диагональных миноров и требуем выполнения системы условий , .

В тексте диссертации приведены примеры и графические иллюстрации поиска точек относительного -оптимума в задачах одномерной и многомерной безусловной интервальной нелинейной оптимизации.

Для исследования вопросов управляемости, наблюдения, стабилизации и идентификации интервальных управляемых систем рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

(20)

с неопределенными непрерывными при t  0 матрицами , из соответствующих интервалов , . В силу неопределенности коэффициентов система (20) каждому выбранному управлению – кусочно-непрерывной функции u (t)Rr – ставит в соответствие пучок траекторий, отвечающих всем допустимым , . Состояние x = 0 естественно назвать точкой покоя, поскольку процесс x(t)0, u(t)0 удовлетворяет (20) при любых допустимых A(t), B(t). Детерминированную систему вида назовем центральной.

Введем специальные обозначения F(t,), , , для фундаментальных матриц соответствующих систем , , , с начальным условием .

Лемма 1. В принятых обозначениях для допустимых матриц A(t) справедливо неравенство .

Из леммы 1 легко находим оценку



пучка траекторий системы (20).

Ориентируясь на закон управления , , отвечающий центральной системе, сведем анализ управляемости системы (20) из состояния x(0)=x0 в состояние x(T)=0 за время T>0 при фиксированных A(t), B(t) к решению системы линейных алгебраических уравнений

(21)

относительно вектора v. Полагая , , перепишем (21) в виде

. (22)

Построив с использованием леммы 1 внешние интервальные оценки

, , (23)

, , ,

,

приходим к интервальной алгебраической системе (22), (23), редуцируя которую к задаче линейного программирования



,,,,

находим универсальное решение .

Субуниверсальное решение интервальной системы (22), (23) удовлетворяет системе уравнений . В условиях полной управляемости центральной системы матрице D0 полного ранга отвечает единственное субуниверсальное решение

. (24)

^ Выделим универсальное и субуниверсальное управления

,

под воздействием которых пучок траекторий интервальной системы (20) отвечает поэлементной оценке

, .

Норма матрицы характеризует величину уклонения пучка траекторий от центральной траектории. При t=T из неравенства

(25)

следует . В этом случае матрица M(T) выполняет роль оператора сжатия фазового пространства. В предположении (25) последовательное применение управления на полуотрезках [0,T), [T,2T), ... равносильно многократному действию оператора сжатия, что обеспечивает притяжение всех траекторий системы к началу координат.

Продолжая субуниверсальное управление по индукции на полуось [0, +), на полуотрезках [(k – 1)T, kT ), k = 2, 3, ..., положим

, (26)

, ,

,

.

Обратимость матриц D0k при k = 1, 2, … обеспечивается предположением о полной управляемости центральной системы на каждом отрезке [(k – 1)T, kT].

Теорема 3. Пусть для всех k =1, 2, … матрицы неособенные, а матрицы Mk удовлетворяют условию . Тогда управление (26) обеспечивает притяжение каждой траектории интервальной системы (20) к положению равновесия x=0.

Для интервальной наблюдаемой системы

, , , , ,

где y(t) из Rm – вектор измерений фазового состояния x(t), A(t), C(t) – неопределенные непрерывные матрицы размерностей nn, mn соответственно, m  n, строится оценка неизвестного начального состояния x(0)=x0, точность которой зависит от радиусов интервалов .

Применив к измерениям , , линейное интегральное преобразование с ядром , получим систему линейных алгебраических уравнений

(27)

относительно вектора x0 c матричными коэффициентами

, .

Матрица W размерности nn здесь зависит от неопределенных матриц A(t), C(t) и, по существу, неизвестна. Вектор g размерности n1, напротив, определен однозначно измерениями y(t).

Устанавливая оценку

, (28)

,,

систему (27), несколько упрощая, считаем интервальной. В качестве оценки начального состояния x0 принимаем универсальное x0* или субуниверсальное решения системы (27), (28). В условиях полной наблюдаемости центральной системы , , , матрица обратима, следовательно . В работе доказано неравенство , позволяющее судить о точности оценки .

Использование изложенной выше процедуры для построения оценки фазовой траектории управляемой системы

, , (29)

по интервальным наблюдениям

, , (30)

осложняется неоднородностью в правой части (29), связанной с управлением u(t). Поэтому для нахождения стабилизирующего управления системы (29), (30) предлагается использовать двухфазную процедуру стабилизации.

Пусть 0<
, , (31)

, ,

, .

В работе доказана теорема 4 о достаточных условиях асимптотической стабилизации наблюдаемой системы (29), (30) на основе управления (31).

^ Для нелинейной системы n обыкновенных дифференциальных уравнений

(32)

с векторами xRn, uRr, vRq состояния, управления и неопределенных параметров определим интервальное уравнение наблюдения

, , , (33)

отвечающее выбранному управлению u(t).

Пусть (10) множество VRq изменения параметров v компактно и не зависит от t; (20) существует малая окрестность XU точки (0,0), в которой функция f(x,u,v) при каждом v V имеет частные производные первого и второго порядка по совокупности переменных (x,u); производные fx , fu , fxx , fxu , fuu непрерывны на замыкании множества XUV; (30) тождественно по v V выполнено условие f(0,0,v)=0; (40) управлениями служат кусочно-непрерывные при t 0 функции u(t) со значениями в U.

Линеаризуя систему (32) в малой окрестности X1U1 точки (0, 0),

, (34)

найдем существующие в силу предположения 20 поэлементные нижние и верхние оценки матриц A(v), B(v):

. (35)

На основе (34), (35) сформируем систему линейных дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами

, , .

Здесь через обозначено состояние линеаризованной системы.

Для построения стабилизирующего управления проводится анализ нелинейной и линеаризованной систем на отрезке времени [0, T] длины T>0. Применяя двухэтапную процедуру, на первом шаге строим оценку начального состояния , используемую на втором шаге для построения субуниверсального управления , которое обеспечивает приближение траекторий нелинейной системы к началу координат. Последовательными сдвигами по времени управление определяется на полуотрезках [(k – 1)T, kT), k = 2, 3, ... и продолжается на всю полуось t  0. В предположениях 10 – 40 и условиях полной управляемости и наблюдаемости центральной линеаризованной системы

, (36)

построим управление

, , (37)

, .

Существование обратных матриц и в (37) гарантируется условиями полной управляемости и наблюдаемости системы (36).

Теорема 5. Пусть система (32) с интервальным наблюдением (33) отвечает предположениям 10 – 40 и для центральной линеаризованной системы (36) выполняются условия полной управляемости и наблюдаемости. Тогда существует такая окрестность X начала координат, что все траектории системы (32), отвечающие управлению (37), начальным состояниям x0X и неопределенным параметрам vV, асимптотически притягиваются к точке покоя x = 0.

Предложенная процедура стабилизации существенно упрощается, если состояние системы (32) допускает точные периодические измерения в моменты времени kT, k= 0, 1, 2, …. При этом существенно уменьшаются вычислительные трудности построения управления .


detskaya-biblioteka-im-as-pushkina-protokol-rassmotreniya-i-ocenki-kotirovochnih-zayavok-po-zaprosu-kotirovok.html
detskaya-etimologiya-v-lingvokognitivnom-aspekte.html
detskaya-igrovaya-didaktika.html
detskaya-literatura-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline.html
detskaya-lozh-motivi-i-prichini-eksperimentalnie-issledovaniya.html
detskaya-oblastnaya-obshestvennaya-organizaciya-nauchnoe-obshestvo-uchashihsya-poisk.html
  • shkola.bystrickaya.ru/s-avtobusa-pereseli-na-motocikl-olga-malish-moskovskie-novosti-moskva-27-15-02-2012-c-5.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/ufologiya-i-psihiatriya-doklad-nlo.html
  • institut.bystrickaya.ru/tel714-66-27-telfaks-550-02-11-sekciya-intensivnih-metodov-obucheniya.html
  • reading.bystrickaya.ru/konspekt-lekcij-po-disciplinetehnologiya-konstrukcionnih-materialov-tema-kristallicheskoe-stroenie-metalla.html
  • school.bystrickaya.ru/analiz-kategorii-materiya.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-vvedenie-v-yazikoznanie.html
  • report.bystrickaya.ru/istoriya-vtoraya-niche-prostranstvo-sergej-lukyanenko.html
  • bystrickaya.ru/velikie-italyanskie-hudozhniki-epohi-vozrozhdeniya-chast-2.html
  • uchit.bystrickaya.ru/trebovaniya-k-referatu-l-s-bayandin-rabochaya-programma-podgotovki-rukovoditelej-rabotnikov-strukturnih-podrazdelenij.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tzhribelk-sabatara-arnalan.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/koncepciya-nauchno-issledovatelskogo-seminara-po-napravleniyu-030900-68-yurisprudenciya-konstitucionno-pravovoe-obespechenie-gosudarstvennoj-sluzhbi-i-socialnih-funkcij-gosudarstva.html
  • universitet.bystrickaya.ru/struktura-i-svojstva-bumagi-analiticheskie-materiali-poligrafiya.html
  • writing.bystrickaya.ru/geneticheski-modificirovannie-produkti.html
  • learn.bystrickaya.ru/ezhednevnij-monitoring-smi-22-marta-2011.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/glava-vtoraya-gestalt-therapy.html
  • writing.bystrickaya.ru/istoriya-23tot-krizhovnik-artur-maksvell-vechernie-rasskazi-dlya-detej-tom-1.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vramkah-konferencii-budut-rassmotreni-sleduyushie-voprosi-sostoyanie-i-osnovnie-napravleniya-razvitiya-medicinskoj-robototehniki.html
  • books.bystrickaya.ru/chast-iskusstvenoj-vodnoj-sistemi-dlinoj-testi-po-grammatike-russkogo-yazika-kontrolnie-raboti.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/predsedatel-professor-kafedri-kompyuternih-tehnologij-obshaya-programma-xvi-respublikanskogo-konkursa-issledovatelskih.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rekomendacii-organam-mestnogo-samoupravleniya-polozhenie-ob-organizacii-bibliotechnogo-obsluzhivaniya-naseleniya-7-surgutskogo.html
  • grade.bystrickaya.ru/moral-pomoshi-i-vzaimopomoshi-v-dohristianskij-period-rusi-chast-9.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2-lichnost-i-aromat-vzaimnoe-konstruirovanie-svetlana-mirgorodskaya-aromalogiya-quantum-satis.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pravila-i-normi-ogranichivayushie-povedenie-svidetelej-iegovi-5-otnoshenie-svidetelej-iegovi-k-biblii-5-ozaprete-na-perelivanie-krovi-stranica-10.html
  • assessments.bystrickaya.ru/dlya-prinyatiya-resheniya-kreditoram-mozhet-potrebovatsya-sleduyushaya-informaciya-o-zaemshike.html
  • tasks.bystrickaya.ru/19-regulyatori-moshnosti-rele-i-kontaktori-preobrazovateli-davleniya-naporomeri.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/zapusk-ochistitelnogo-mehanizma-vstuplenie.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/9384-vakcini-i-anatoksini-primenyaemie-v-veterinarii-0251-nefteprodukti-svetlie-alternativnie-vidi-topliva.html
  • report.bystrickaya.ru/h-k-andersen-snezhnaya-koroleva.html
  • school.bystrickaya.ru/drugoe-tv-mayak-novosti-22-11-2005-bejlin-boris-21-00-12.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodologicheskie-i-teoreticheskie-problemi-psihologii-stranica-12.html
  • essay.bystrickaya.ru/cel-programmi-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-1-klass-fgos.html
  • studies.bystrickaya.ru/11-voprosi-dlya-podgotovki-k-ekzamenu-uchebno-metodicheskij-kompleks-specialnost-080502-ekonomika-i-upravlenie.html
  • tasks.bystrickaya.ru/323-materiali-tovari-sire-i-postavshiki-emitenta-129110-rossiya-g-moskva-gilyarovskogo-47-str-5-informaciya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/250000-nauki-o-zemle-geografiya-xii-mezhregionalnoj-konferencii-festivalya-nauchnogo-tvorchestva-uchashejsya-molodezhi.html
  • predmet.bystrickaya.ru/spisok-analiticheskih-resursov-po-reforme-gosudarstvennogo-upravleniya-v-rf-stranica-28.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.