.RU

Для нахождения локального минимума - Интервальные методы и модели принятия решений в экономике


Для нахождения локального минимума скалярной интервальной функции , с дважды дифференцируемыми в компактной области определения функциями центров и радиусов введем первую и вторую производные функции по правилам

, (16)

. (17)

Определения (16), (17) обоснованы в диссертации параметрическим и инфинитезимальным анализом и обобщают известные подходы А.П. Вощинина, В.И. Левина к определению экстремума интервальных функций.

Опираясь на понятие универсального решения, на основе интервального уравнения сформулируем детерминированную задачу

(18)

с неизвестными x, s и ε. Компонента x* решения задачи (18) названа универсальной стационарной точкой интервальной функции , а также точкой относительного ρ-минимума, если в дополнение к (18) справедливо неравенство

.

Аналогичные рассуждения применительно к задаче на безусловный экстремум интервальной функции векторного аргумента приводят к определению градиента функции в виде векторного интервала

.

Универсальное решение интервальной векторной системы сводится в работе к задаче нелинейного программирования

. (19)

Компонента x* решения задачи (19) названа в работе универсальной стационарной точкой интервальной функции .

Определив интервальный гессиан по правилу

,

для проверки его положительной определенности используем известные результаты Н.А. Бобылева, С.В. Емельянова, С.К. Коровина, Р.С. Ивлева либо введенное в работе определение относительного -оптимума на основе критерия Сильвестра. Для этого по правилам классической интервальной арифметики вычисляем интервальные значения , , главных диагональных миноров и требуем выполнения системы условий , .

В тексте диссертации приведены примеры и графические иллюстрации поиска точек относительного -оптимума в задачах одномерной и многомерной безусловной интервальной нелинейной оптимизации.

Для исследования вопросов управляемости, наблюдения, стабилизации и идентификации интервальных управляемых систем рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

(20)

с неопределенными непрерывными при t  0 матрицами , из соответствующих интервалов , . В силу неопределенности коэффициентов система (20) каждому выбранному управлению – кусочно-непрерывной функции u (t)Rr – ставит в соответствие пучок траекторий, отвечающих всем допустимым , . Состояние x = 0 естественно назвать точкой покоя, поскольку процесс x(t)0, u(t)0 удовлетворяет (20) при любых допустимых A(t), B(t). Детерминированную систему вида назовем центральной.

Введем специальные обозначения F(t,), , , для фундаментальных матриц соответствующих систем , , , с начальным условием .

Лемма 1. В принятых обозначениях для допустимых матриц A(t) справедливо неравенство .

Из леммы 1 легко находим оценку



пучка траекторий системы (20).

Ориентируясь на закон управления , , отвечающий центральной системе, сведем анализ управляемости системы (20) из состояния x(0)=x0 в состояние x(T)=0 за время T>0 при фиксированных A(t), B(t) к решению системы линейных алгебраических уравнений

(21)

относительно вектора v. Полагая , , перепишем (21) в виде

. (22)

Построив с использованием леммы 1 внешние интервальные оценки

, , (23)

, , ,

,

приходим к интервальной алгебраической системе (22), (23), редуцируя которую к задаче линейного программирования



,,,,

находим универсальное решение .

Субуниверсальное решение интервальной системы (22), (23) удовлетворяет системе уравнений . В условиях полной управляемости центральной системы матрице D0 полного ранга отвечает единственное субуниверсальное решение

. (24)

^ Выделим универсальное и субуниверсальное управления

,

под воздействием которых пучок траекторий интервальной системы (20) отвечает поэлементной оценке

, .

Норма матрицы характеризует величину уклонения пучка траекторий от центральной траектории. При t=T из неравенства

(25)

следует . В этом случае матрица M(T) выполняет роль оператора сжатия фазового пространства. В предположении (25) последовательное применение управления на полуотрезках [0,T), [T,2T), ... равносильно многократному действию оператора сжатия, что обеспечивает притяжение всех траекторий системы к началу координат.

Продолжая субуниверсальное управление по индукции на полуось [0, +), на полуотрезках [(k – 1)T, kT ), k = 2, 3, ..., положим

, (26)

, ,

,

.

Обратимость матриц D0k при k = 1, 2, … обеспечивается предположением о полной управляемости центральной системы на каждом отрезке [(k – 1)T, kT].

Теорема 3. Пусть для всех k =1, 2, … матрицы неособенные, а матрицы Mk удовлетворяют условию . Тогда управление (26) обеспечивает притяжение каждой траектории интервальной системы (20) к положению равновесия x=0.

Для интервальной наблюдаемой системы

, , , , ,

где y(t) из Rm – вектор измерений фазового состояния x(t), A(t), C(t) – неопределенные непрерывные матрицы размерностей nn, mn соответственно, m  n, строится оценка неизвестного начального состояния x(0)=x0, точность которой зависит от радиусов интервалов .

Применив к измерениям , , линейное интегральное преобразование с ядром , получим систему линейных алгебраических уравнений

(27)

относительно вектора x0 c матричными коэффициентами

, .

Матрица W размерности nn здесь зависит от неопределенных матриц A(t), C(t) и, по существу, неизвестна. Вектор g размерности n1, напротив, определен однозначно измерениями y(t).

Устанавливая оценку

, (28)

,,

систему (27), несколько упрощая, считаем интервальной. В качестве оценки начального состояния x0 принимаем универсальное x0* или субуниверсальное решения системы (27), (28). В условиях полной наблюдаемости центральной системы , , , матрица обратима, следовательно . В работе доказано неравенство , позволяющее судить о точности оценки .

Использование изложенной выше процедуры для построения оценки фазовой траектории управляемой системы

, , (29)

по интервальным наблюдениям

, , (30)

осложняется неоднородностью в правой части (29), связанной с управлением u(t). Поэтому для нахождения стабилизирующего управления системы (29), (30) предлагается использовать двухфазную процедуру стабилизации.

Пусть 0<
, , (31)

, ,

, .

В работе доказана теорема 4 о достаточных условиях асимптотической стабилизации наблюдаемой системы (29), (30) на основе управления (31).

^ Для нелинейной системы n обыкновенных дифференциальных уравнений

(32)

с векторами xRn, uRr, vRq состояния, управления и неопределенных параметров определим интервальное уравнение наблюдения

, , , (33)

отвечающее выбранному управлению u(t).

Пусть (10) множество VRq изменения параметров v компактно и не зависит от t; (20) существует малая окрестность XU точки (0,0), в которой функция f(x,u,v) при каждом v V имеет частные производные первого и второго порядка по совокупности переменных (x,u); производные fx , fu , fxx , fxu , fuu непрерывны на замыкании множества XUV; (30) тождественно по v V выполнено условие f(0,0,v)=0; (40) управлениями служат кусочно-непрерывные при t 0 функции u(t) со значениями в U.

Линеаризуя систему (32) в малой окрестности X1U1 точки (0, 0),

, (34)

найдем существующие в силу предположения 20 поэлементные нижние и верхние оценки матриц A(v), B(v):

. (35)

На основе (34), (35) сформируем систему линейных дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами

, , .

Здесь через обозначено состояние линеаризованной системы.

Для построения стабилизирующего управления проводится анализ нелинейной и линеаризованной систем на отрезке времени [0, T] длины T>0. Применяя двухэтапную процедуру, на первом шаге строим оценку начального состояния , используемую на втором шаге для построения субуниверсального управления , которое обеспечивает приближение траекторий нелинейной системы к началу координат. Последовательными сдвигами по времени управление определяется на полуотрезках [(k – 1)T, kT), k = 2, 3, ... и продолжается на всю полуось t  0. В предположениях 10 – 40 и условиях полной управляемости и наблюдаемости центральной линеаризованной системы

, (36)

построим управление

, , (37)

, .

Существование обратных матриц и в (37) гарантируется условиями полной управляемости и наблюдаемости системы (36).

Теорема 5. Пусть система (32) с интервальным наблюдением (33) отвечает предположениям 10 – 40 и для центральной линеаризованной системы (36) выполняются условия полной управляемости и наблюдаемости. Тогда существует такая окрестность X начала координат, что все траектории системы (32), отвечающие управлению (37), начальным состояниям x0X и неопределенным параметрам vV, асимптотически притягиваются к точке покоя x = 0.

Предложенная процедура стабилизации существенно упрощается, если состояние системы (32) допускает точные периодические измерения в моменты времени kT, k= 0, 1, 2, …. При этом существенно уменьшаются вычислительные трудности построения управления .


detskaya-biblioteka-im-as-pushkina-protokol-rassmotreniya-i-ocenki-kotirovochnih-zayavok-po-zaprosu-kotirovok.html
detskaya-etimologiya-v-lingvokognitivnom-aspekte.html
detskaya-igrovaya-didaktika.html
detskaya-literatura-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline.html
detskaya-lozh-motivi-i-prichini-eksperimentalnie-issledovaniya.html
detskaya-oblastnaya-obshestvennaya-organizaciya-nauchnoe-obshestvo-uchashihsya-poisk.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/proektnaya-deklaraciya-zakritogo-akcionernogo-obshestva-ojkumena-na-stroitelstvo.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/programma-soprovozhdeniya-detej-sostoyashih-na-uchyote.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/korporativnie-informacionnie-sistemi-kis-kak-instrument-effektivnogo-upravleniya-proizvodstvom.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zadanie-30-vstavte-podhodyashij-glagol-ispolzuya-budushee-vremya-zadanie-otvette-na-voprosi-upotreblyaya-dannie-slova.html
  • report.bystrickaya.ru/hronika-katolicheskoj-cerkvi-kazahstana-slovo-pastirya.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/osobennosti-sostoyaniya-sluhovoj-funkcii-u-bolnih-hronicheskim-rinitom-kliniko-eksperimentalnoe-issledovanie.html
  • abstract.bystrickaya.ru/1p-r-i-m-e-ch-a-n-i-ya-dzhejn-ejr.html
  • writing.bystrickaya.ru/analiz-kreditosposobnosti-ssudozaemshika-na-primere-predpriyatiya-chast-7.html
  • grade.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-seminarskih-zanyatij-disciplina-infrastrukturnoe-obespechenie-vneshneekonomicheskoj-deyatelnosti.html
  • institut.bystrickaya.ru/t-d-zinkevich-evstigneeva-t-m-grabenko-igri-v-skazkoterapii-spb-rech-2006-208-s-stranica-8.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/na-privale-muzikalno-literaturnaya-kompoziciya-celi.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prilozhenie-9-trebovaniya-k-soderzhaniyu-recenzii-zaklyucheniya-metodicheskie-rekomendacii-prepodavatelyam-tyumgu-po.html
  • writing.bystrickaya.ru/a-tyurgo-ob-evolyucii-klassovoj-strukturi-burzhuaznogo-obshestva-kontrolnaya.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vozdejstvie-na-rastitelnost-sostav-proekta.html
  • crib.bystrickaya.ru/kniga-izdana-pri-sodejstvii.html
  • assessments.bystrickaya.ru/ekzamen-zachet-5-semestr-samostoyatelnaya-rabota-32-chasov-vsego-chasov-84-chasa.html
  • credit.bystrickaya.ru/polozheni-e-po-provedeniyu-turnira-po-boulingu-zolotaya-keglya-vesna-2012-sredi-komand-predpriyatij-okonnogo-rinka-respubliki-belarus.html
  • assessments.bystrickaya.ru/byulleten-novih-postuplenij-v-nb-rgu-za-2-kvartal-2010-g-stranica-9.html
  • control.bystrickaya.ru/doklad-municipalnogo-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-bashkirskaya-gimnaziya-25.html
  • reading.bystrickaya.ru/kosmologiya-induizm.html
  • lesson.bystrickaya.ru/proishozhdenie-i-evolyuciya-cheloveka-etapi-razvitiya.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-lekcij-po-obshej-biohimii-dlya-studentov-2-go-kursa-lechebnogo-pediatricheskogo-i-med-prof-fakulteta-biohimiya-i-ee-zadachi-znachenie-biohimii-dlya-medicini-fiziko-himicheskie-svojstva-belkov.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/voprosi-dlya-ocenki-kachestva-osvoeniya-disciplini-programma-disciplini-anglijskij-yazik-dlya-napravleniya-030900.html
  • lecture.bystrickaya.ru/analiz-pishevih-produktov-vodi-pochvi-metodom-inversionnoj-voltamperometrii-v-ramkah-obrazovatelnoj-programmi-metodi-metodiki-vipolneniya-izmerenij-sredstva-izmerenij.html
  • literatura.bystrickaya.ru/schomixw-adige-shenhabzem-re-literaturemre-ya-zhurnal.html
  • lecture.bystrickaya.ru/anna-bogacheva-volshebnaya-noch-ili-kogda-ozhivayut-igrushki.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-4-konstanti-uproshennaya-sistema-nalogooblozheniya.html
  • holiday.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-kursovoj-raboti-bryansk-2009.html
  • occupation.bystrickaya.ru/mir-i-rossiya-v-xix-1-j-polovine-xx-vv-domashnee-zadanie-data-provedeniya-mir-v-drevnosti-8-chasov.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/saladai-ebek-orau-zhne-aupszdk-tehnikasi.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prakticheskaya-chast-zanyatiya-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-bijsk-bpgu-imeni-v-m-shukshina.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-tematicheskij-plan-kursa-pri-ochnoj-forme-obucheniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-rimskoe-pravo.html
  • university.bystrickaya.ru/evropejskij-seminar-po-ustojchivomu-razvitiyu-minsk-16-19-marta-2011-g.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tablica-42-otchet-o-samoobsledovanii-fgou-spo-doneckij-gosudarstvennij-promishlenno-gumanitarnij-tehnikum.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-institut-energeticheskij-specialnost-140601-65-elektromehanika-napravlenie-podgotovki-bakalavra.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.